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-====== Das RSA Verfahren ======
-Um die Funktionsweise des RSA Verfahrens nachzuvollziehen, musst du dir Klartext, Geheimtext und Schlüssel nicht als Bit-Folgen wie bei AES, sondern einfach als natürliche Zahlen vorstellen. Für den Computer macht das sowieso keinen Unterschied, da dieser alle Daten als Bit-Folge abspeichert udn verarbeitet.
-===== Einwegfunktionen und Falltürfunktionen =====
-Im vorigen Wiki-Abschnitt haben wir uns mit der Modulo-Rechnung beschäftigt - diese ist in der Kryptografie wichtig, da einge der Modulo-Rechenarten sind sehr** einfach durchgeführt** werden können, ihre **Umkehrung** oft aber sehr ziemlich **aufwändig** ist.
-So kann man die **einfache Rechnung als Verschlüsselung** und die **komplizierte Umkehrung als Entschlüsselung** verwenden -- allerding nur dann, wenn es bei der komplizierten Umkehrung eine "versteckte Abkürzung" gibt, die man als **Schlüssel** nehmen kann.
-<WRAP center round tip 90%>
-Eine Funktion, die man einfach berechnen kann, bei der die Umkehrung aber nur mit großem Aufwand berechnet werden kann, nennt man **Einwegfunktion**.
-Existiert eine "versteckte Abkürzung", also eine Zusatzinformation, mit der die ansonsten schwierige Umkehrung einfach gemacht wird, dann spricht man von einer **Falltürfunktion**.
-</WRAP>
-{{ :faecher:informatik:oberstufe:kryptographie:rsaverfahren:ewfalltuer.drawio.png?600 |}}
-===== Primzahl-Multiplikation als Einwegfunktion =====
-Die (normale) Multiplikation zweier Primzahlen ist eine Einwegfunktion. Eine Primzahl-Multiplikation ist heutzutage mit Computerunterstützung einfach durchführbar, auch bei großen Zahlen macht das keine Probleme.
-Im Gegensatz dazu sind keine effizienten Verfahren bekannt, mit denen aus dem Produkt zweier großer Primzahlen die beiden Faktoren bestimmt werden können.
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-{{:aufgabe.png?nolink  |}}
-=== (A1) ===
-  * Berechne im Kopf 13·17
-  * Bestimme die beiden Primzahlen, die miteinander multipliziert 1189 ergeben (auch im Kopf...)
-Je größer die beiden Primzahlen sind, desto komplexer ist dieses sogenannte **Faktorisierungsproblem**: "Finde die beiden Primzahlen, die miteinander multipliziert die Zahl X ergeben". Bei Zahlen über tausend Bit Länge ist dieses Problem auch von aktuellen Superrechnern nicht mehr lösbar.
-<WRAP center round info 90%>
-Die **Multiplikation zweier großer Primzahlen ist eine Einwegfunktion**. Es ist **einfach, das Produkt zu berechnen**, aber sehr **schwierig/unlösbar**, zu einer großen Zahl **die beiden Prim-Faktoren zu bestimmen**, die miteinander multipliziert diese Zahl ergeben.
-</WRAP>
-Anmerkungen:
-  * Es lässt sich mathematisch nicht beweisen, dass dass die Primzahl-Multiplikation eine Einwegfunktion ist, es spricht jedoch alles dafür.
-  * Ein zentrales Problem dieser Einwegfunktion ist die Erzeugung großer Primzahlen. Das wird meist mit dem [[wpde>Miller-Rabin-Test]] gelöst, dessen Betrachtung hier aber zu weit führen würde.
-===== Aus Einweg mach Falltür =====
-Des RSA Verfahren basiert darauf, eine passende Falltürfunktion zu finden, die bei geeignet Wahl der beteiligten Zahlen eine Information als Schlüssel liefert, mit der sie umgekehrt werden kann.
-Dazu benötigt man die Modulo-Rechnung aus einem der vorigen Wiki-Abschnitte:
-  * Die a-te Wurzel der Zahl b modulo n lässt sich leicht berechnen, wenn man φ(n) kennt und $a$ und $φ(n)$ teilerfremd sind.  ([[..:rsamathe:start#modulo-wurzelziehen |Modulo-Wurzelziehen]])
-  * φ(n) kann man leicht berechnen, wenn es sich bei n um das Produkt zweier Primzahlen p und q handelt. Dann gilt φ(n)=(p-1)·(q-1) ([[..:rsamathe:start#modulo-wurzelziehen |Modulo-Wurzelziehen]])
-Nach heutigem Kenntnisstand gibt es außer der im Abschnitt [[..:rsamathe:start#modulo-wurzelziehen |Modulo-Wurzelziehen]] beschriebenen Methode unter Zuhilfenahme von $φ(n)$ keine effektive Methode, die Modulo-Wuzel zu bestimmen. Damit ist das Modulo-Potenzieren eine Falltürfunktion - die Information, die sie umkehrbar macht sind die beiden Primzahlfaktoren aus denen der Modulus n berechnet werden kann. Da die Primzahlmultiplikation eine Einwegfunktion ist, kann man diese Faktoren nachträglich aus n bei genügend großen Primzahlen nicht mehr bestimmen.
-{{ :faecher:informatik:oberstufe:kryptographie:rsaverfahren:rsa.drawio.png?700 |}}
-===== Ablauf des RSA Verfahrens =====
-Alice möchte, dass Bob ihr eine mit RSA verschlüsselte Mitteilung senden kann.
-  * Alice muss zunächst vorarbeiten: Sie wählt zufällig zwei große Primzahlen p und q und berechnet daraus den Modulus n=p·q.
-  * Anschließend wählt sie eine natürliche Zahl e, die teilerfremd zu φ(n) ist. Zur Erinnerung φ(n)=(p-1)·(q-1)). Die Zahlen **n und e bilden zusammen den öffentlichen Schlüssel**, den Alice öffentlich bekannt macht, also auch an Bob weitergibt. wenn ein Angreifer (Mallory) den schlüssel in die Hände bekommt ist das kein Problem.
-  * Alice berechnet $$d=e^{-1}(mod\n φ(n))$$. d ist der geheime Schlüssel, den sie natürlich für sich behalten muss.
-  * Nachdem Bob Alices öffentlichen Schlüssel hat (e,n), kann er damit seine Nachricht m, die er als Zahl betrachtet verschlüsseln. Dazu berechnet er $$c=m^e (mod\; n)$$. $$c$$ ist der Geheimtext, den er dann an Alice sendet. Die Verschlüsselung entspricht einer Modulo-Exponentiation.
-  * Die verschlüsselte  Nachricht $$c$$ kann Alice entschlüsseln, indem sie $$c^d (mod\; n)$$ berechnet. Das Ergebnis ist der Klartext m, den Bob abgeschickt hat. Das Entschlüsseln entspricht einem Modulo-Wurzelziehen: Alice zieht die e-te Modulo-Wurzel von c, indem sie die d-te Potenz berechnet. Mallory kann d nicht ermitteln, weil er die Faktorisierung von n und damit φ(n) nicht kennt.