Gleitkommazahlen

Um die Einschränkung der Festkommazahlen aufzuheben, dass dort nur Brüche mit 2er-Potenmzen im Nenner exakt dargestellt werden können benötigt man eine weitere Zahlendarstellung. Diese funktioniert allerdings grundlegend anders als die bisherige binäre Zahldarstellung (Binär, Zweierkomplement, Festkommazahlen). Damit ein Computer mit solchen „neuen“ Zahlen rechnen kann, benötigt man eine angepasste elektronische Schaltung, die sogenannte FPU 1) Floating Point Unit, siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Gleitkommaeinheit .

Vorüberlegungen im Dezimalsystem

Jede endliche Dezimalzahl kann man in der Form M • 10 E schreiben. dabei heißt M „Mantisse“ und E „Exponent“. Die Mantisse ist eine Dezimalzahl, die stets eine Ziffer vor dem Komma besitzt. Der Exponent ist eine Ganze Zahl
Beispiele:

435,861 = 4,35861 * 102 (Mantisse 4,25861, Exponent 2)

0,0003562 = 3,562 * 10 4 (Mantisse 3,562, Exponent 4)

Im Binärsystem (IEEE 754)

Die Norm IEEE 754 (ANSI/IEEE Std 754-1985; IEC-60559:1989 – International version) definiert Standarddarstellungen für binäre Gleitkommazahlen in Computern und legt genaue Verfahren für die Durchführung mathematischer Operationen, insbesondere für Rundungen, fest.

Die Darstellung einer Gleitkommazahl x = s ⋅ m ⋅ b e

besteht aus:

Vorzeichen s (1 Bit)

Mantisse m (p Bits)

Basis b (bei normalisierten Gleitkommazahlen nach IEEE 754 ist b = 2)

Exponent e (r Bits)

Ein wesentlicher Unterschied zur Dezimadarstellung ist also, dass Mantisse, Exponent binär dargestellt werden, und die Basis der Potenz 2 ist. Das Vorzeichenbit ist so definiert, dass s=0 positive Zahlen darstellt, s=1 negative Zahlen.

An das Mantissenbitmuster wird links stets eine 1 angehängt: 1,m. Das Bitmuster der Mantisse m steht also nur für negative 2er-Potenzen. Damit spart man sich ein Bit Speicherplatz (und gewinnt damit ein Bit an Genauigkeit) weil man sich diese erste 1 immer „denkt“.