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--- faecher:informatik:oberstufe:codierung:zahlendarstellungen:ganze_zahlen:start [14.09.2022 16:18] – [Zweierkomplement] sbel
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-====== Ganze Zahlen ℤ – Zweierkomplement ======
-In Informatiksystemen ist es auch nötig, mit negativen Zahlen zu arbeiten. Auch diese werden als Binärzahlen gespeichert - aber wie?
-==== Vorzeichenbit - keine gute Idee ====
-**Ein erster Gedanke:** Man könnte einfach das Bit ganz links als "Vorzeichenbit" verwenden.
-  * +42<sub>10</sub> = 00101010<sub>2</sub>
-  * --42<sub>10</sub> = 10101010<sub>2</sub>
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-{{:aufgabe.png?nolink  |}}
-=== (A1) ===
-Verwende die binäre Darstellung für +42 und -42 von oben und addiere schriftlich (im Binärsystem) jeweils die Zahl 3<sub>10</sub>=011<sub>2</sub>.
-Erläutere, warum die Darstellung mit einem "Vorzeichenbit" nicht sinnvoll ist.
-++++ Hinweis |
-{{ .:vorzeichenbit.png?300 |}}
-++++
-===== Komplementdarstellungen =====
-Um die verheerende Rechenschwäche des Vorzeichenbits zu beheben, haben sich **Komplementdarstellungen** für negative Zahlen etabliert. Um das "Komplement" zu bilden, werden 1 und 0 vertauscht. Dies hat den Vorteil, dass Rechenoperationen wie z.B. die Addition in beiden Zahlenbereichen funktionieren.
-==== Einerkomplement ====
-Eine negative Zahl wird bei der **Einerkomplement**-Darstellung zunächst als Betrag in eine Binärzahl umgewandelt und dann das Komplement gebildet. Negative Zahlen beginnen dabei stets mit einer 1, d.h. man muss evtl. links eine oder mehrere 0-en anfügen, um bei der Komplementbildung die "Vorzeichen-Eins" zu erhalten.
-**Beispiel:**
-Wenn man --6<sub>10</sub> im Einerkomplement darstellen möchte, ermittelt man zunächst die Binärdarstellung von +6<sub>10</sub>= 110<sub>2</sub> und fügt links eine 0 an: 0110<sub>2</sub>
-Nun bildet man das Komplement und erhält die Einerkomplementdarstellung für --6<sub>10</sub>=1001<sub>2</sub>.
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-{{:aufgabe.png?nolink  |}}
-=== (A2) ===
-  * Ermittle die EK-Darstellung von --5<sub>10</sub>.
-  * Berechne schriftlich im Binärsystem --5 + 2.
-  * Berechne schriftlich im Binärsystem --5 + 7.
-  * Bestimme die Einerkomplementdarstellung von 0000<sub>2</sub>
-Welche Folgerungen ziehst du aus den Ergebnissen deiner Berechnungen?
-==== Zweierkomplement ====
-Mithilfe des sogenannten Zweierkomplements lassen sich negative Binärzahlen so darstellen, **dass alle Rechenregeln wie bislang funktionieren**.
-Die Idee des ZK ist es, jeweils das Bit mit der höchsten Wertigkeit als negativen Wert zu definieren.
-Ein Beispiel anhand eines 8-Bit-Wertes:
-|Stelle | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
-|Wertigkeit 2er-Potenz | --2<sup>7</sup> | 2<sup>6</sup> | 2<sup>5</sup>| 2<sup>4</sup>| 2<sup>3</sup>| 2<sup>2</sup> | 2<sup>1</sup> | 2<sup>0</sup> |
-|Wertigkeit dezimal | --128 | 64  | 32  | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
-So erhält man eine eindeutige Darstellung der 0 und kann auch "über die Null hinweg" rechnen, ohne Fehler zu machen. Die folgende Veranschaulichung kann helfen, das zu verstehen.
-{{ :faecher:informatik:oberstufe:codierung:zahlendarstellungen:ganze_zahlen:zkkreis.png?400 |}}
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-{{:aufgabe.png?nolink  |}}
-=== (A3) ===
-  * Welcher Zahlbereich lässt sich im ZK mit 8 Bit darstellen?
-  * Welcher Zahlbereich lässt sich im ZK mit n Bit darstellen?
-  * Rechne um:
-    * 10101010<sub>2</sub> = ?? <sub>10</sub>
-    * 11110000<sub>2</sub> = ?? <sub>10</sub>
-    * --98<sub>10</sub> = ?? <sub>2</sub>
-    * --3<sub>10</sub> = ?? <sub>2</sub>
-    * Wie kann man anhand einer Binärzahl im Zweierkomplement erkennen, ob diese positiv oder negativ ist?
-    * Wie kann man mithilfe des Zweierkomplements aus einer positiven die davon negative Zahl bilden?
-==== Material ====
-{{simplefilelist>.:*}}