faecher:informatik:oberstufe:codierung:zahlendarstellungen:binaerdarstellung:start

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faecher:informatik:oberstufe:codierung:zahlendarstellungen:binaerdarstellung:start [14.09.2022 16:16] sbelfaecher:informatik:oberstufe:codierung:zahlendarstellungen:binaerdarstellung:start [Unbekanntes Datum] (aktuell) – gelöscht - Externe Bearbeitung (Unbekanntes Datum) 127.0.0.1
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-====== Binärdarstellung, Oktal- und Hexadezimalschreibweise ====== 
  
-===== Natürliche Zahlen ℕ in Binärdarstellung ===== 
- 
-Ein digitaler Rechner kennt nur zwei logische Zustände: 0 und 1. Diese korrespondieren physikalisch mit zwei Spannungszuständen: Spannung an/Spannung aus. Auißerdem können logische Aussagen einem von zwei "Werten" zugeordnet werden: wahr oder falsch. 
- 
-Aus all diesen Gründen spielt die Darstellung von Zahlen im Biärsystem eine zentrale Rolle in der Informatik.  
-Du hast diese Darstellung von Zahlen im Binärsystem bereits in der Mittelstufe kennengelernt.  
- 
-Das Binärsystem ist ein **Stellenwertsystem**, dessen Stellenwerte Zweierpotenzen entspricht: 
-| Stelle                  7              |  6                5              |  4              |  3              |  2              |  1              |  0              | 
-| Wertigkeit der Stelle  |  2<sup>7</sup>  |  2<sup>6 </sup>  |  2<sup>5</sup>  |  2<sup>4</sup>  |  2<sup>3</sup>  |  2<sup>2</sup>  |  2<sup>1</sup>  |  2<sup>0</sup>  | 
-| Wertigkeit dezimal      128            |  64              |  32              16              8              |  4              |  2              |  1              | 
- 
-**Beispiel:** 10100101<sub>2</sub> = 128<sub>10</sub> + 32<sub>10</sub> + 4<sub>10</sub> + 1<sub>10</sub> = 165<sub>10</sub> 
- 
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-{{:aufgabe.png?nolink  |}} 
-=== (A1) === 
- 
-  * Welcher Zahlbereich lässt sich so mit 8 Bit darstellen? 
-  * Welcher Zahlbereich lässt sich so mit n Bit darstellen? 
-  * Rechne die Zahlen vom Binärsystem in das Dezimalsystem bzw. umgekehrt um: 
-     * 01011010<sub>2</sub>  
-     * 1001011<sub>2</sub>  
-     * 27<sub>10</sub>  
-     * 220<sub>10</sub>  
- 
- 
-==== Oktal- und Hexadezimalsystem ==== 
- 
- 
- 
-Das Oktalsystem ist ein Stellenwertsystem zur Basis 8, das Hexadezimalsystem ein Stellenwertsystem zur Basis 16 
-  
-| **Oktalsystem**                                                                                                              ||||||| 
-| Stelle                  5              |  4              |  3              |  2              |  1              |  0              | 
-| Wertigkeit der Stelle  |  8<sup>5</sup>  |  8<sup>4</sup>  |  8<sup>3</sup>  |  8<sup>2</sup>  |  8<sup>1</sup>  |  8<sup>0</sup>  | 
-| Wertigkeit dezimal      32768          |  4096            512            |  64              8              |  1              | 
- 
-| **Hexadezimalsystem**  |                  |                  |                  |                  |                  | 
-| Stelle                  4                3                2                1                0               | 
-| Wertigkeit der Stelle  |  16<sup>4</sup>  |  16<sup>3</sup>  |  16<sup>2</sup>  |  16<sup>1</sup>  |  16<sup>0</sup>  | 
-| Wertigkeit dezimal      65536            4096            |  256              16              |  1               | 
- 
- 
-Bei Hexadezimalsystem muss die Menge der möglischen Ziffern erweitert werden, da der Wert an einer Stelle zwischen 0 und 15 betragen kann, die arabischen Ziffern jedoch nur Werte bis 9 bereitstellen. Man erweitert: 
- 
-|  10  |  11  |  12  |  13  |  14  |  15  | 
-|  A    B    C    D    E    F   | 
- 
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-{{:aufgabe.png?nolink  |}} 
-=== (A2) === 
- 
-  * Welche Ziffern sind an den Stellen einer Oktalzahl erlaubt? 
-  * Welche Ziffern sind an den Stellen einer Hexadezimalzahl erlaubt? 
-  * Rechne um:  
-    * 2AE<sub>16</sub> = ?? <sub>10</sub>  
-    * 12345<sub>8</sub> = ?? <sub>10</sub> 
-    * 3178<sub>10</sub> = ?? <sub>16</sub> 
-    * 2765<sub>10</sub> = ?? <sub>8</sub> 
- 
-Oktal- und Hexadezimalsystem stellen eine "verkürzte" Binärdarstellung bereit, die es ermöglicht, binäre Zahlen schnell praktischer aufzuschreiben: 
- 
-Die Ziffern von 0 bis 7 können binär in 3 Bit dargestellt werden. das heißt, jede Ziffer einer Oktalzahl entspricht 3 Bit - um von Oktal in Binär "umzuwandeln" muss man lediglich für jede oktale Ziffer 3 Bit aufschreiben und dort den Stellenwert binär eintragen: 3426<sub>8</sub> = 011 100 010 110 <sub>2</sub> 
- 
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-{{:aufgabe.png?nolink  |}} 
-=== (A3) === 
-  * Überprüfe die Richtigkeit der "Umwandlung" aus dem Beispiel im Text, indem du Oktal- und Binärzahl in eine Dezimalzahl umwandelst. 
-  * Mache dir klar, dass in diesem Sinne die Darstellung einer Zahl als Oktalzahl lediglich eine "verkürzte" Binärdarstellung ist. 
-  * Wandle um (schreibe anders):  
-    * 675421345<sub>8</sub> = ?? <sub>2</sub> 
-    * 101111110001010<sub>2</sub> = ?? <sub>8</sub> 
- 
- 
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-{{:aufgabe.png?nolink  |}} 
-=== (A4) === 
- 
-Ebenso wie Oktalzahlen "Binärzahlen in 3Bit-Blöcken" sind, sind Hexadezimalzahlen "Binärzahlen in 4Bit-Blöcken". 
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-  * Erläutere am Beispiel der Zahl 1DA<sub>16</sub> warum die Aussage richtig ist. 
-  * Wandle um:  
-    * A012<sub>16</sub> = ?? <sub>2</sub> 
-    * 10111000101010001 <sub>2</sub> = ?? <sub>16</sub>  
-  * Ein Rechner hat die MAC Adresse a4:4c:c8:4a:49:c5. welche Länge in Bit und Byte hat die MAC-Adresse? 
-  * IPv6 Adressen sind 128Bit lang. Wieviele hexadezimale Stellen umfasst eine IPv6 Adresse?  
-  * Könnte man IPv6 Adressen auch geschickt Oktal darstellen? Wenn ja, warum, wenn nein warum nicht. 
- 
- 
-==== Material ==== 
- 
-{{simplefilelist>.:*}}  
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  • von sbel