Ganze Zahlen ℤ – Zweierkomplement

In Informatiksystemen ist es auch nötig, mit negativen Zahlen zu arbeiten. Auch diese werden als Binärzahlen gespeichert - aber wie?

Ein erster Gedanke: Man könnte einfach das Bit ganz links als „Vorzeichenbit“ verwenden.

• +42₁₀ = 00101010₂
• –42₁₀ = 10101010₂

Verwende die binäre Darstellung für +42 und -42 von oben und addiere schriftlich (im Binärsystem) jeweils die Zahl 3₁₀=011₂.

Erläutere, warum die Darstellung mit einem „Vorzeichenbit“ nicht sinnvoll ist.

Hinweis

Um die verheerende Rechenschwäche des Vorzeichenbits zu beheben, haben sich Komplementdarstellungen für negative Zahlen etabliert. Um das „Komplement“ zu bilden, werden 1 und 0 vertauscht. Dies hat den Vorteil, dass Rechenoperationen wie z.B. die Addition in beiden Zahlenbereichen funktionieren.

Eine negative Zahl wird bei der Einerkomplement-Darstellung zunächst als Betrag in eine Binärzahl umgewandelt und dann das Komplement gebildet. Negative Zahlen beginnen dabei stets mit einer 1, d.h. man muss evtl. links eine oder mehrere 0-en anfügen, um bei der Komplementbildung die „Vorzeichen-Eins“ zu erhalten.

Beispiel:

Wenn man –6₁₀ im Einerkomplement darstellen möchte, ermittelt man zunächst die Binärdarstellung von +6₁₀= 110₂ und fügt links eine 0 an: 0110₂

Nun bildet man das Komplement und erhält die Einerkomplementdarstellung für –6₁₀=1001₂.

• Ermittle die EK-Darstellung von –5₁₀.
• Berechne schriftlich im Binärsystem –5 + 2.
• Berechne schriftlich im Binärsystem –5 + 7.
• Bestimme die Einerkomplementdarstellung von 0000₂

Welche Folgerungen ziehst du aus den Ergebnissen deiner Berechnungen?

Die Idee des ZK ist es, jeweils das Bit mit der höchsten Wertigkeit als negativen Wert zu definieren. Ein Beispiel anhand eines 8-Bit-Wertes:

So erhält man eine eindeutige Darstellung der 0 und kann auch „über die Null hinweg“ rechnen, ohne Fehler zu machen. Die folgende Veranschaulichung kann helfen, das zu verstehen.

• Welcher Zahlbereich lässt sich im ZK mit 8 Bit darstellen?
• Welcher Zahlbereich lässt sich im ZK mit n Bit darstellen?
• Rechne um:
  • 10101010₂ = ?? ₁₀
  • 11110000₂ = ?? ₁₀
  • –98₁₀ = ?? ₂
  • –3₁₀ = ?? ₂
  • Wie kann man anhand einer Binärzahl im Zweierkomplement erkennen, ob diese positiv oder negativ ist?
  • Wie kann man mithilfe des Zweierkomplements aus einer positiven die davon negative Zahl bilden?

Löse die folgenden Rechenaufgaben und überprüfe das Ergebnis, indem du die Operanden und das Ergebnis dezimal umrechnest:

 1001 1010
+0000 1111

 0010 1001
-1111 1111

 0001 0001 * 1111 1101